Кафедра математики оголошує набір на факультативи у 2 семестрі! Початок 6 лютого

Для участі необхідно зареєструватись за посиланням

Теорія чисел (професор Математичного інституту Польської академії наук Марія Власенко)

1. Подільність, факторизація та алгебраїчні цілі числа. Алгоритм Евкліда та однозначність розкладу на множники у деяких кільцях, кільця цілих у квадратичних полях, числові поля, ідеали та однозначність факторизації у областях Дедекінда.   
2. Арифметика лишків та скінченні поля. Мала теорема Ферма та її узагальнення, китайська теорема про лишки, існування примітивних елементів та структура групи оборотних лишків за модулем N, мультиплікативна група скінченного поля, розв’язки алгебраїчних рівнянь над скінченними полями.  
3. p-адичні числа.  Конструкція p-адичних чисел, лема Гензеля та p-адична реалізація алгебраїчних чисел,  p-адичні неперервні функції. 
4. Дзета-функція, ряди Діріхле та розподіл простих чисел.  Дзета-функція Рімана, її аналітичне продовження та значення у цілих точках, теорема про розподіл простих чисел, теорема Діріхле про прості числа у арифметичних прогресіях.
5. Вступ до модулярних форм. Ряди Ейзенштейна, розмірність просторів модулярних форм,  оператори Гекке, тета-функції.

Глибинне навчання для задач комп’ютерного зору (Анастасія Дейнеко, Grid Dynamics)

1. Вступ до нейронних мереж – від мілинних до глибинних;
2. Парадигми навчання – навчання з вчителем та самонавчання;
3. Основи теорії оптимізації (градієнтні оптимізатори);
4. Багатошаровий песептрон, функції активації, проблема зникаючого та вибухового градієнту;
5. Комп’ютерний зір:
   -  Згорткові нейронні мережі; архітектури згорткових мереж; Transfer Learning; класифікація зображень;
   -  Autoencoders, VAE, CVAE;
   -  Data segmentation;
   -  Object detection;
   -  Generative adversarial networks (GANs);
   -  Meta-Learning: metric learning; domain adaptation, few-shot learning;
   -  Weak Supervision, active learning;
6. Рекурентні нейронні мережі;
7. Моделі типу «Sequence-To-Sequence»;

Загальна топологія (канд. фіз.-мат. наук Богдан Фещенко)

1. Топологічні простори. Поняття топологічного простору, база та передбаза топології. Метричні простори. Топології на скінченних множинах.
2. Індукована топологія. Внутрішність, зовнішність, межа та замикання підмножини топологічного простору. Аксіоми віддільності. Лема Урисона.
3. Неперервні відображення. Властивості топологічних просторів, що зберігаються при неперервних відображеннях. Факторні топології.
4. Зв’язність та лінійна зв’язність. Компоненти (лінійної) зв’язності. Достатні умови зв’язності. Зв’язність відрізка.
5. Компактність. Різні характеризації компактності. Компактність відрізка. Теорема Вейєрштраса про неперервні функції на компакті. Повні метричні простори. Характеризація компактів в повних метричних просторах.
6. Топологічні добутки. Теорема Тихонова про компактність добутку компактів.
7. Поняття многовиду. Диференційовні многовиди. Дотичні вектори, дотичні простори та дотичне розшарування многовиду. Диференційовні відображення між многовидами. Трансверсальність. Теорема Сарда.

Симетріїї диференціальних рівнянь (док. фіз.-мат. наук Вячеслав Бойко)

1. Групи симетрії диференціальних рівнянь. Однопараметричні групи перетворень. Приклади груп. Рівняння Лі. Групи перетворень та їх інваріанти. Інваріантні рівняння. Диференціальні інваріанти. Інфінітезімальний оператор групи. Основні групи на площині. Групи симетрії диференціальних рівнянь. Групи точкових перетворень. Формули продовження.  Визначальні рівняння.
2. Інтегрування звичайних диференціальних рівнянь. Інтегрування звичайних диференціальних рівнянь. Класифікація Лі звичайних диференціальних рівнянь. Заміна змінних. Інтегруючий множник. Рівняння другого порядку. Основні рівняння другого порядку з відомими однопараметричними групами.
3. Знаходження груп Лі диференціальних рівнянь і задача симетрійної класифікації. Перетворення симетрії та перетворення еквівалентності. Приклади груп інваріантності і груп еквівалентності. Многопараметричні групи і алгебри Лі. Алгебри Лі. Визначення та приклади. Нільпотентні, розв’язні та напівпрості алгебри. Знаходження груп Лі диференціальних рівнянь і задача симетрійної класифікації. Групова класифікація нелінійних рівнянь теплопровідності, узагальнених рівнянь Бюргерса, нелінійних рівнянь дифузії.
4. Симетрійні методи в задачах математичної фізики. Звичайні диференціальні рівняння, що мають фундаментальну систему розв’язків. Групи на прямій та рівняння Ріккаті. Розв’язки, інваріантні відносно групи. Розмноження розв’язків. Підгруповий аналіз груп симетрії. Фундаментальні розв’язки рівнянь математичної фізики. Сферично симетричні розв’язки рівнянь Лапласа. Теплове представлення групи Галілея. Симетрія і розділення змінних. Група симетрії рівняння Гельмгольца. Розділення змінних для рівняння Гельмгольца.
5. Некласичні симетрії. Модулі редукції. "No go" теорема. Приклади обчислення умовних симетрій. Контактні симетрії.
6. Закони збереження. Симетрія та закони збереження. Теорема Ньотер. Прямі методи знаходження законів збереження.
7. Алгебри Лі. Класифікація алгебр Лі. Побудова реалізації алгебр Лі. Реалізації алгебр Лі на прямій та на площині. Контракції та деформації алгебр Лі.

Diffusion Processes (професор Микола Портенко)

1. Markov processes. The Kolmogorov- Chapman equation.
2. Diffusion processes in the sense of Kolmogorov.
3. Kolmogorov’s backward and forward equations.
4. The notion of the parametrix method.
5. Brownian motion and the heat equation.
6. Heat potentials.
7. The Feynman-Kac formula.
8. The perturbation formulae.
9. Diffusions in irregular media.
10. Simple-layer potentials.
11. Diffusions with generalized drifts.
12. Skew Brownian motion.
13. Multidimensional Brownian motion with membranes on a hyperplane.
14. Membranes located on a given hypersurface.
15. The behavior of a diffusion process near membranes.
16. Some limit theorems for diffusion processes.